în care:

• a – coeficientul de convecţie;
• A – suprafaţa corpului;
• m – masa;
• c – căldura specifică;
• t – timpul.

Considerând că experienţa este realizată cu două corpuri diferite, cu dimensiuni egale (volume egale notate cu indicii 1 şi 2), atunci raportul vitezelor de încălzire va fi dat de raportul derivatelor funcţiilor ce exprimă dependenţa temperaturii în funcţie de timp:

Dezvoltând funcţia exponenţială în serie Taylor, reţinând primii doi termeni şi simplificând expresia, rezultă:

De aici se poate deduce faptul că vitezele de variaţie ale temperaturii celor două corpuri sunt invers proporţionale cu pătratul capacităţilor lor calorice.

Deoarece cuptoarele industriale au dimensiuni mari, rezultă că timpii de încălzire (răcire) au valori mari, de ordinul orelor, astfel încât termenul 1/t poate fi neglijat.

Întrucât în structura constructivă a unui cuptor intră materiale diferite, relaţia de mai sus permite stabilirea unei corelaţii între vitezele de încălzire (răcire) ale diferitelor părţi componente. Astfel devine posibilă găsirea unei soluţii analitice.

3. Modelarea regimurilor nestaţionare pentru un cuptor

În figura 1 este reprezentat schematic un cuptor pentru încălzirea produselor petroliere.

Pentru un cuptor la care schimbul de căldură se efectuează preponderent în zona de radiaţie, ponderea schimbului de căldură convectiv de la gaze către produsul încălzit este foarte mică, astfel că în această analiză poate fi neglijat.

Făcând bilanţul termic pe o porţiune elementară din peretele cuptorului, se obţine relaţia:

Ca variabilă a fost aleasă temperatura ecranului. Pierderile de căldură au fost apreciate ca reprezentând un procent y din fluxul radiant.

Deoarece vitezele de încălzire pentru cele trei materiale utilizate în construcţia cuptorului (în secţiune) sunt diferite, acestea au fost exprimate în funcţie de viteza de încălzire a ecranului (relaţia 3).

S-a notat cu MC capacitatea calorică echivalentă a peretelui (conform relaţiei 4), unde:

unde:

• Tmf – temperatura medie din focarul cuptorului;
• F – coeficientul de radiaţie reciprocă;
• Kr – coeficientul relativ de radiaţie;
• Ar – aria de transfer de căldură din zona de radiaţie;
• de – diametrul exterior al tuburilor din zona de radiaţie;
• ns – numărul de şiruri de tuburi din zona de radiaţie;
• e – ecran;
• p – produs;
• z – izolaţie.

Notând cu:

ecuaţia (3) poate fi integrată (cu condiţia iniţială: t=0 T=Ti):

Soluţia ecuaţiei este:

Cu toate rezervele referitoate la ipotezele simplificatore introduse, s-a obţinut o relaţie care permite estimarea timpului de intrare în regim a unui cuptor de încălzit produse petroliere.

Pentru a determina variaţia timpului de încălzire a fost ales pentru exemplificare un cuptor folosit la încălzirea unui ulei mediu, cu densitatea relativă 0,95 şi factorul de caracterizare Watson K=11, pentru un debit masic de ulei de 200 t/h. Masa totală a cuptorului a fost estimată ca fiind de 10 tone. A fost testată comportarea relaţiei pentru cazul în care dimensiunile cuptorului se modifică, cu toate consecinţele care decurg de aici (masa a fost crescută la 12 şi apoi la 15 tone).

Temperatura medie în focar a fost estimată la valoarea de 850 °C şi temperatura de pornire a fost considerată ca fiind 25 °C.

Din analiza numerică a soluţiei s-a constatat că există o instabiltate pentru intervale scurte de timp, imediat după începerea procesului de încălzire. Pentru intervale mai lungi de timp (mai mari de 45 minute), soluţiile obţinute sunt stabile şi au o comportare asemănătoare, pentru diferite capacităţi calorice ale cuptorului.

În figura 2 este reprezentată grafic soluţia data de ecuaţia (8), pentru cele trei situaţii prezentate.